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<!DOCTYPE html>

<title>Intermodulation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Intermodulation</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Intermodulation</b> (<b>IM</b> oder <b>IMD</b>) bezeichnet die Entstehung von <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenzen</a>, wenn zwei oder mehr unterschiedliche Frequenzen durch ein System mit nichtlinearer <a href="%C3%9Cbertragungsfunktion" title="Übertragungsfunktion">Übertragungsfunktion</a> verarbeitet werden. Zur Charakterisierung der nichtlinearen Eigenschaften der Übertragungsfunktion dient die Beschreibung mittels <a href="Intercept_Point" title="Intercept Point">Intercept Points</a>. Intermodulationen treten unter anderem in Systemen der <a href="Nachrichtentechnik" title="Nachrichtentechnik">Nachrichtentechnik</a> wie <a href="Verst%C3%A4rker_(Elektrotechnik)" title="Verstärker (Elektrotechnik)">Verstärkern</a> und der <a href="Akustik" title="Akustik">Akustik</a> durch nichtlineare Übertragungseigenschaften auf und sind in diesen Anwendungen vielfach unerwünscht.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeines">Allgemeines</h2></div>

<p>Im einfachsten Fall von zwei unterschiedlichen Frequenzen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50dfd257a51e037112c917f8a9e47c9c053466df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc886fdaa7adc9be11ff4a5076da5e0943bcff58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{2}}" loading="lazy"></span> welche durch ein System mit nichtlinearen Übertragungsfunktion geleitet werden, bildet sich durch Intermodulation jeweils eine Differenz und eine Summe von Frequenzen, die als Intermodulationsprodukte bezeichnet werden, in der Form:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{1}\cdot f_{1}+k_{2}\cdot f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3b882799531760127e72fb0309508b55f7a8fc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.116ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{1}\cdot f_{1}+k_{2}\cdot f_{2}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{1},k_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38464b8cbb84b71e60d41873e4bfe788027f3cf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.565ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{1},k_{2}}" loading="lazy"></span> als zwei ganze Zahlen. Die Ordnung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ O}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13dbd09e91212faf2f5d1a1c8220f0b7a00bc35b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.354ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ O}" loading="lazy"></span> ist in diesem Fall die Summe der Beträge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|k_{1}\right|+\left|k_{2}\right|}">

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|k_{1}\right|+\left|k_{2}\right|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2cbcd4d7682de4893aada1119f0683dfe3a531e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.959ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left|k_{1}\right|+\left|k_{2}\right|}" loading="lazy"></span>. Einige Intermodulationsprodukte im Fall von zwei Frequenzen sind:

</p>

<dl><dd>2. Ordnung: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |f_{1}\pm f_{2}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f_{1}\pm f_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e25326c97e630f5e66576879bdaff05174ec8f94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.521ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f_{1}\pm f_{2}|}" loading="lazy"></span></dd>

<dd>3. Ordnung: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |2\cdot f_{1}\pm f_{2}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |2\cdot f_{1}\pm f_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae5ac4ceb6896c2ff760f67f17727219c5e572.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.363ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |2\cdot f_{1}\pm f_{2}|}" loading="lazy"></span></dd>

<dd>3. Ordnung: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |f_{1}\pm 2\cdot f_{2}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f_{1}\pm 2\cdot f_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68cbcd326840f495fe5d335014e69ebcd8fc817e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.363ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f_{1}\pm 2\cdot f_{2}|}" loading="lazy"></span></dd>

<dd>4. Ordnung: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |3\cdot f_{1}\pm f_{2}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |3\cdot f_{1}\pm f_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40728fb1c341f990b8ed1ae2464162e89a12fd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.363ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |3\cdot f_{1}\pm f_{2}|}" loading="lazy"></span></dd>

<dd>4. Ordnung: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |f_{1}\pm 3\cdot f_{2}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f_{1}\pm 3\cdot f_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6506ace3a88e0fd35a62596fbf3b2eba4b10a0fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.363ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f_{1}\pm 3\cdot f_{2}|}" loading="lazy"></span></dd>

<dd>5. Ordnung: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |3\cdot f_{1}\pm 2\cdot f_{2}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |3\cdot f_{1}\pm 2\cdot f_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be060f71705137ba4d14c7bc59ecf582c62645e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.204ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |3\cdot f_{1}\pm 2\cdot f_{2}|}" loading="lazy"></span></dd>

<dd>5. Ordnung: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |2\cdot f_{1}\pm 3\cdot f_{2}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |2\cdot f_{1}\pm 3\cdot f_{2}|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5411bc6b245f4647d078e8a530f7e52f319f1987.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.204ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |2\cdot f_{1}\pm 3\cdot f_{2}|}" loading="lazy"></span></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \dotsc }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ebbc2773aa65698b39a96e5d956763392972fd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.723ex; height:0.843ex;" alt="{\displaystyle \dotsc }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Im allgemeinen Fall von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span> Frequenzen sind die daraus gebildeten Intermodulationsprodukte

</p>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}\cdot f_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4918dba862f593dd8c593665bd19f94139faf4ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:9.371ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}\cdot f_{i}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die dabei auftretenden Ordnungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ O}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ O}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13dbd09e91212faf2f5d1a1c8220f0b7a00bc35b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.354ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ O}" loading="lazy"></span> sind im allgemeinen Fall:

</p>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ O=\sum _{i=1}^{N}\left|k_{i}\right|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd33459d1d21d2f593e9b3cba560dd0cf7d937e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.499ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \ O=\sum _{i=1}^{N}\left|k_{i}\right|}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Nachrichtentechnik">Nachrichtentechnik</h2></div>

<p>In der Nachrichtentechnik werden die Intermodulationsprodukte durch <a href="Nichtlinear" class="mw-redirect" title="Nichtlinear">Nichtlinearitäten</a> in Bauelementen wie <a href="Diode" title="Diode">Dioden</a>, spannungsabhängigen Rückwirkungskapazitäten in Transistoren oder spannungsabhängigen <a href="Elektrischer_Widerstand" title="Elektrischer Widerstand">Widerständen</a> verursacht. Diese sind in additiven <a href="Mischer_(Elektronik)" title="Mischer (Elektronik)">Mischern</a> erwünscht, um Kombinationsfrequenzen zu erzeugen.

</p><p>Vereinfacht für gedächtnislose Systeme (d. h. die Vorgeschichte spielt hier keine Rolle) kann die nichtlineare Übertragungsfunktion als

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)=g[x(t)]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/569c216a6255645252fbe145d99eadc0b04bd1ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.291ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)=g[x(t)]}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>beschrieben werden.

</p><p>Dabei ist <i>g</i> eine beliebige nichtlineare Funktion, beispielsweise eine <a href="Quadratische_Funktion" title="Quadratische Funktion">Quadratische Funktion</a>. Wegen der Nichtlinearität beeinflussen die Eingangssignale sich gegenseitig. Deshalb ist der <a href="Superposition_(Physik)" title="Superposition (Physik)">Superpositionssatz</a> hier nicht anwendbar.

</p><p>Mathematisch lässt sich die Intermodulation durch eine <a href="Taylor-Reihe" class="mw-redirect" title="Taylor-Reihe">Taylor-Reihe</a> beschreiben, sofern die Nichtlinearitäten nicht zu stark sind.

</p><p><i>Annäherung mit Taylor-Reihe</i>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{\mathrm {out} }(t)=k_{0}+k_{1}\cdot u_{\mathrm {in} }(t)+k_{2}\cdot {u_{\mathrm {in} }(t)}^{2}+k_{3}\cdot {u_{\mathrm {in} }(t)}^{3}+\dots +k_{n}\cdot {u_{\mathrm {in} }}^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5269c17542e5853cca04e693bba96662dfc6d99f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:67.825ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle u_{\mathrm {out} }(t)=k_{0}+k_{1}\cdot u_{\mathrm {in} }(t)+k_{2}\cdot {u_{\mathrm {in} }(t)}^{2}+k_{3}\cdot {u_{\mathrm {in} }(t)}^{3}+\dots +k_{n}\cdot {u_{\mathrm {in} }}^{n}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Je größer die Koeffizienten <i>k</i><sub>2</sub> und <i>k</i><sub>3</sub> sind, umso geringer ist der Intermodulationsabstand 2. und 3. Ordnung.

</p><p>Die Potenzen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {u_{\mathrm {in} }}^{2}}">

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {u_{\mathrm {in} }}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/faf7490ecbfe829c47901c4c69a6b6530332c9ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.988ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {u_{\mathrm {in} }}^{2}}" loading="lazy"></span> stehen für Intermodulation 2. Ordnung, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {u_{\mathrm {in} }}^{3}}">

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {u_{\mathrm {in} }}^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7174a2400e29e601b90eefb0a3e1afbe6bf8679.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.988ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {u_{\mathrm {in} }}^{3}}" loading="lazy"></span> für Intermodulation 3. Ordnung usw. Mathematisch lässt sich dies mit Hilfe <a href="Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme" title="Formelsammlung Trigonometrie">von Additionstheoremen</a> wie folgt beschreiben:

</p>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\cos }^{2}{x}={\frac {1}{2}}\cdot \left(\cos {2x}+1\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74d36350d6c6b8df18716e15e6abc842c784095b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.074ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\cos }^{2}{x}={\frac {1}{2}}\cdot \left(\cos {2x}+1\right)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und

</p>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\cos }^{3}{x}={\frac {1}{4}}\cdot \left(\cos {3x}+3\cdot \cos {x}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4d59cbe0d8c664abfa76ed25981badcaab57f62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.581ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\cos }^{3}{x}={\frac {1}{4}}\cdot \left(\cos {3x}+3\cdot \cos {x}\right)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Erfolgt nun eine <a href="Zweitonanregung" title="Zweitonanregung">Zweitonanregung</a> mit den Frequenzen <i>f</i><sub>1</sub> und <i>f</i><sub>2</sub>, so erhält man am Ausgang des beschriebenen Schaltungsteils Intermodulationsprodukte auf den Frequenzen

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{m+n}=m\cdot f_{1}\pm n\cdot f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e7247c1f82cf46f2f30e59a1cc14bfddff26e06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.198ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{m+n}=m\cdot f_{1}\pm n\cdot f_{2}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>wobei <i>m</i> und <i>n</i> natürliche Zahlen sind, deren Summe der Ordnung der Intermodulation entspricht.

</p><p>In der Signalübertragung sind die Intermodulation 3. Ordnung (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot f_{1}-f_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot f_{1}-f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42e62e2925f4b1b1c3b8728779320ee3aeeaca05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.069ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot f_{1}-f_{2}}" loading="lazy"></span> bzw. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot f_{2}-f_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot f_{2}-f_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad1fc674045bae54422042f450b4a1143c734a4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.069ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot f_{2}-f_{1}}" loading="lazy"></span>) unerwünscht, da diese in den Nutzfrequenzbereich fallen und schwer oder nicht mehr ausgefiltert werden können.

</p><p>Auch Intermodulationen 2. Ordnung (2·<i>f</i><sub>1</sub>, 2·<i>f</i><sub>2</sub>, <i>f</i><sub>1</sub> + <i>f</i><sub>2</sub> sowie <i>f</i><sub>2</sub> − <i>f</i><sub>1</sub>) können, je nach Systemaufbau, zu Störungen führen.

</p><p>Meist sind die Intermodulationsprodukte mit der Ordnung > 3 stark gedämpft oder lassen sich durch den weiten Abstand zur Nutzfrequenz leicht herausfiltern, so dass sie in der Übertragungstechnik keine große Rolle spielen.

</p><p>Maßnahmen gegen die Intermodulation sind z. B. die Verwendung von Stufen mit hohen Ruheströmen, was allerdings bei batteriebetriebenen Geräten nicht immer möglich ist. Durch Verringerung der <a href="Aussteuerung" title="Aussteuerung">Aussteuerung</a> der Empfänger- oder Senderstufen wird auch eine Verbesserung erreicht, allerdings auf Kosten der Eingangsempfindlichkeit bzw. der Sendeleistung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Skalare_Messung">Skalare Messung</h3></div>

<p>Mehrheitlich werden die Leistungen der Intermodulationssignale (IM-Signale) rein skalar gemessen. D. h., es werden zwei <a href="Signalgenerator" title="Signalgenerator">Signalgeneratoren</a> als Sender und ein <a href="Spektrumanalysator" title="Spektrumanalysator">Spektrumanalysator</a> als Empfänger verwendet. Das <a href="Messung#Messobjekt" title="Messung">Messobjekt</a> (<a href="Device_Under_Test" title="Device Under Test">DUT</a>) befindet sich zwischen Generatoren und Empfänger. Im Gegensatz zu vektoriellen <a href="Netzwerkanalysator" title="Netzwerkanalysator">Netzwerkanalysatormessungen</a> werden dabei keine <a href="Fehlanpassung" title="Fehlanpassung">Fehlanpassungen</a> herausgerechnet. Weiterhin steht keine <a href="Zeigerdiagramm" class="mw-redirect" title="Zeigerdiagramm">Phaseninformationen</a> der IM-Signale zur Verfügung.

</p><p>Bei diesen Messungen muss immer darauf geachtet werden, dass keine IM-Signale vom Sender und/oder Empfänger erzeugt werden. Insbesondere beim Empfänger müssen dafür schmalbandige Bandpassfilter eingesetzt werden, die verhindern, dass das leistungsstarke Sendesignal am empfindlichen Empfänger aufgrund dessen eigener Nichtlinearitäten IM-Signale erzeugt. Ob ein gemessenes IM-Signal vom DUT oder im Empfänger erzeugt wird, lässt sich zur Laufzeit der Messung durch eine Erhöhung des Eingangs<a href="D%C3%A4mpfungsglied" title="Dämpfungsglied">dämpfungsgliedes</a> am Empfänger überprüfen. Werden alle Signalamplituden um den gleichen Faktor reduziert, sind die IM-Signale vom DUT. Erfolgt eine von der Ordnung der Intermodulation abhängige Veränderung der Signalamplituden, handelt es sich um ein vom Empfänger erzeugtes IM-Signal.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vektorielle_Messung">Vektorielle Messung</h3></div>

<p>Alternativ zur skalaren Messung kann basierend auf einer vektoriellen <a href="Netzwerkanalysator" title="Netzwerkanalysator">Netzwerkanalysatormessung</a> die vektorielle IM-Messung durchgeführt werden<sup id="cite_ref-thala_2009_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-thala_2009-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Diese weist in der Regel viel geringere <a href="Messfehler" class="mw-redirect" title="Messfehler">Messfehler</a> auf, da Fehlanpassungen über eine vorangegangene <a href="Kalibrierung" title="Kalibrierung">Kalibrierung</a> automatisch herausgerechnet werden. Der entscheidende Vorteil der vektoriellen Messung liegt darin, die Störquellen modellieren zu können. Selbst die Lage der Störstelle kann nunmehr berechnet werden. Um diese vektorielle IM-Messung durchzuführen, ist es notwendig, den Netzwerkanalysator absolut zu kalibrieren. Dafür werden die zwei zusätzlichen Kalibrierstandards Leistungsmesskopf und <a href="Kammgenerator" title="Kammgenerator">Kammgenerator</a> benötigt. Das Kalibrierverfahren <i>Without Thru</i> hilft, über nur ein physikalisches Tor zwei virtuelle Tore zu kalibrieren.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorkommen">Vorkommen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lautsprecher">Lautsprecher</h3></div>

<p>Bei <a href="Lautsprecher" title="Lautsprecher">Lautsprechern</a> ist die Intermodulation die typische Verzerrung, die bei hohen Basspegeln je nach Qualität der Lautsprecher früher oder später hörbar wird. Die Wandlereffizienz für wiederzugebende hohe Frequenzen wird bei der durch niedrige Frequenzen naturgemäß erzeugten großen Amplitude periodisch immer dann geringer, wenn die <a href="Auslenkung" title="Auslenkung">Auslenkung</a> groß ist – die <a href="Schwingspule" title="Schwingspule">Schwingspule</a> verlässt dann den linearen Bereich ihrer Auslenkung. Der lineare Bereich ist durch ihre überstehende Länge im Vergleich zum Luftspalt der Polschuhe gegeben.

</p><p>Bei Mehrwegesystemen kann Intermodulation daher normalerweise nur in den Frequenzbereichen wirksam werden, die mit dem gleichen Chassis abgestrahlt werden. Da Verzerrungen im Bereich 500 Hz–4 kHz am deutlichsten zu hören sind und Intermodulation am stärksten durch den großen Membranhub tiefer Frequenzen ausgelöst wird, baut man 3-Wege-Lautsprecherboxen: Bässe (Frequenzen unter einigen 100 Hz) und Mitten (Frequenzen ca. 500 Hz–4 kHz) werden mit getrennten Chassis abgestrahlt, wobei der Mitteltöner sorgfältig vor den Luftbewegungen des Basslautsprechers geschützt ist. 3-Wege-Systeme sind daher 1-Wege- und 2-Wege-Konstruktionen diesbezüglich deutlich überlegen. Dennoch muss der Basslautsprecher einer 3-Wege-Box einen großen Bereich linearer Auslenkung aufweisen, um nicht seinerseits Harmonische zu erzeugen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tuner">Tuner</h3></div>

<p>Ein Qualitätsmerkmal analoger <a href="Tuner_(Empfang)" title="Tuner (Empfang)">Tuner</a> ist deren Trennschärfe und Großsignalfestigkeit. Ist diese nicht ausreichend gegeben, kommt es zum Parallelempfang verschiedener Sender oder zum Mehrfachempfang des gleichen Senders. Oft ist dies durch Mischprodukte verursacht, die durch Verstärkerstufen verursacht werden, wenn diese nicht ausreichend intermodulationsfest sind.

</p><p>Im UKW-Bereich tritt Intermodulation 3. Ordnung der Art <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot f_{1}-f_{2}}">

<msub>

</mrow>

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<msub>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot f_{1}-f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42e62e2925f4b1b1c3b8728779320ee3aeeaca05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.069ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot f_{1}-f_{2}}" loading="lazy"></span> bzw. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot f_{2}-f_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot f_{2}-f_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad1fc674045bae54422042f450b4a1143c734a4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.069ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot f_{2}-f_{1}}" loading="lazy"></span> vor allem in Breitband-Kabelnetzen auf, wenn viele UKW-Hörfunkprogramme angeboten werden, die Abstände der jeweils benachbarten Programme gering und oft gleich sind, z. B. je 300 kHz, 350 kHz oder 400 kHz. Folgen mehrere gleiche Abstände aufeinander, fallen Intermodulationsstörungen 3. Ordnung auf belegte Frequenzen, was sich auch bei korrekter Pegelung der Strecken- und Hausanschlussverstärker in deutlich erhöhtem Rauschen, Zwitschern oder Parallelempfang äußert. Die Intermodulation findet hierbei im ZF-Mischer des UKW-Empfängers selbst statt und kann vom Kunden nicht wirksam unterbunden werden. Einzige Linderung wäre eine schmalbandigere Vorselektion des Tuners, die mindestens einen der Störpartner nicht auf den Mischer gelangen lässt beim Empfang des gewünschten Programms.

</p><p>Effiziente Abhilfe ist nur durch geschickte Wahl der UKW-Kabelfrequenzen möglich: in einem beliebig im UKW-Bereich platzierten Frequenz-Fenster von mindestens 2, besser 3 MHz Breite sollten niemals identische Abstände zwischen einzelnen UKW-Programmen vorkommen, d. h. Abstände von z. B. 300 kHz – 300 kHz oder 400 kHz – 400 kHz sollten ebenso wenig aufeinander folgen wie z. B. 300 kHz – 400 kHz – 700 kHz. Außerhalb des Fensters von 2–3 MHz Breite wirkt die Vorselektion des Tuners ausreichend, um mindestens eine der störenden Frequenzen vom Mischer fernzuhalten.

</p><p>Kabelnetz-Betreiber können auf EDV-gestützte Planungs-Leistungen entsprechender Unternehmen zurückgreifen bzw. händisch mittels einer tabellarischen Planungshilfe<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> des Kopfstellen-Herstellers BLANKOM funktionierende Frequenzbelegungen ermitteln.

</p><p>Auch Funkmikrofone können sich bei ungünstiger Trägerfrequenzwahl gegenseitig durch Intermodulation stören.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Innenohr_(Cochlea)"><span id="Innenohr_.28Cochlea.29"></span>Innenohr (Cochlea)</h3></div>

<p>Intermodulationsverzerrungen treten auch im Innenohr von Säugetieren durch die nichtlinear-verstärkenden Eigenschaften der Hörschnecke (<a href="Cochlea" class="mw-redirect" title="Cochlea">Cochlea</a>) auf. Diese Verzerrungen machen sich in Form von sogenannten Kombinationstönen bemerkbar und sind unter bestimmten Umständen wahrnehmbar und auch messbar. Diese so genannten distorsiv produzierten otoakustischen Emissionen (<a href="DPOAE" class="mw-redirect" title="DPOAE">DPOAEs</a>) lassen sich diagnostisch erfassen und auswerten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Wolfgang-Josef Tenbusch: <cite style="font-style:italic">Grundlagen der Lautsprecher</cite>. 1. Auflage. Michael E. Brieden Verlag, Oberhausen 1989, ISBN 3-9801851-0-9.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Intermodulation&rft.au=Wolfgang-Josef+Tenbusch&rft.btitle=Grundlagen+der+Lautsprecher&rft.date=1989&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.isbn=3980185109&rft.place=Oberhausen&rft.pub=Michael+E.+Brieden+Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li>Berndt Stark: <cite style="font-style:italic">Lautsprecher Handbuch</cite>. 7. Auflage. Richard Pflaum Verlag, München 1999, ISBN 3-7905-0807-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Intermodulation&rft.au=Berndt+Stark&rft.btitle=Lautsprecher+Handbuch&rft.date=1999&rft.edition=7.&rft.genre=book&rft.isbn=3790508071&rft.place=M%C3%BCnchen&rft.pub=Richard+Pflaum+Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li>Arndt Klingelnberg: <cite style="font-style:italic">TonmeisterTagung TMT-Tagungsbericht 2016 EN-1 : Non-linear distortion revisited (english)</cite>. ISBN 978-3-9812830-7-5.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Intermodulation&rft.au=Arndt+Klingelnberg&rft.btitle=TonmeisterTagung+TMT-Tagungsbericht+2016+EN-1+%3A+Non-linear+distortion+revisited+%28english%29&rft.genre=book&rft.isbn=9783981283075" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.polarelectronicindustries.com/iic.php">Kostenloses Programm zur Berechnung der Intermodulationsprodukte</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mo-ca.com">Programm zur Berechnung der Intermodulationsprodukte bei Funkmikrofonen</a></li>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20131124222039/http://fritz.dellsperger.net/Downloads/eq_IM.pdf">Einführung in die Messung der Intermodulation mit Herleitung und Hinweisen zur praktischen Messung</a> (<span class="webarchiv-memento"><a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a></span> vom 24. November 2013 im <i><a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a></i>)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.informationsuebertragung.ch/indexMischer.html">Skript zum Thema Mischer (PDF)</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-thala_2009-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-thala_2009_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Thalayasingam, K. and Heuermann, H., <i>Novel Vector Non-Linear Measurement System for Intermodulation Measurements</i>, European Microwave Conf., Rom, Oct. 2009. </span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160916104304/http://www.blankom.de/fileadmin/blankom_antennentechnik/data/page/data/fix_docu/gb/B-Line/9058.01__FMB121_komplettverbunden.pdf"><i>Bedienungsanleitung UKW-Kopfstellenmanager BLANKOM FMB121.</i></a> Archiviert vom <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-position:center right!important;background-repeat:no-repeat!important}body.skin-minerva .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/OOjs_UI_icon_external-link-ltr-progressive.svg")!important;background-size:10px!important;padding-right:13px!important}body.skin-timeless .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a,body.skin-monobook .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/MediaWiki_external_link_icon.svg")!important;padding-right:13px!important}body.skin-vector .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/Link.ernal-small-ltr-progressive.svg")!important;background-size:0.857em!important;padding-right:1em!important}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><span class="dewiki-iconexternal"><a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=http%3A%2F%2Fwww.blankom.de%2Ffileadmin%2Fblankom_antennentechnik%2Fdata%2Fpage%2Fdata%2Ffix_docu%2Fgb%2FB-Line%2F9058.01__FMB121_komplettverbunden.pdf">Original</a></span> am <span style="white-space:nowrap;">16. September 2016</span><span>;</span><span class="Abrufdatum"> abgerufen am 5. September 2016</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AIntermodulation&rft.title=Bedienungsanleitung+UKW-Kopfstellenmanager+BLANKOM+FMB121&rft.description=Bedienungsanleitung+UKW-Kopfstellenmanager+BLANKOM+FMB121&rft.identifier=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20160916104304%2Fhttp%3A%2F%2Fwww.blankom.de%2Ffileadmin%2Fblankom_antennentechnik%2Fdata%2Fpage%2Fdata%2Ffix_docu%2Fgb%2FB-Line%2F9058.01__FMB121_komplettverbunden.pdf&rft.date=&rft.source=http://www.blankom.de/fileadmin/blankom_antennentechnik/data/page/data/fix_docu/gb/B-Line/9058.01__FMB121_komplettverbunden.pdf&rft.language=de"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.shuredistribution.de/support_download/fachwissen/funksysteme/funk-intermodulation">http://www.shuredistribution.de/support_download/fachwissen/funksysteme/funk-intermodulation</a></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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